计算曲线长度，根据线积分公式：

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，令积分函数 f(x,y,z) 为1，即计算曲线的长度，将其微元化：

其中

根据此时便可在python编程实现，给出4个例子，代码中已有详细注释，不再赘述

'''
计算曲线长度，根据线积分公式：
\int_A^Bf(x,y,z)dl，令积分函数为1，即计算曲线的长度
'''
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import *
import matplotlib.pyplot as plt

## 求二维圆周长，半径为1，采用参数形式
def circle_2d(dt=0.001,plot=True):
 dt = dt # 变化率
 t = np.arange(0,2*np.pi, dt)
 x = np.cos(t)
 y = np.sin(t)

 # print(len(t))
 area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度

 for i in range(1,len(t)):
  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始
  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) 
  # 将计算结果存储起来
  area_list.append(dl_i)

 area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度

 print("二维圆周长：{:.4f}".format(area))
 if plot:
  fig = plt.figure()
  ax = fig.add_subplot(111)
  ax.plot(x,y)
  plt.title("circle")
  plt.show()


## 二维空间曲线，采用参数形式
def curve_param_2d(dt=0.0001,plot=True):
 dt = dt # 变化率
 t = np.arange(0,2*np.pi, dt)
 x = t*np.cos(t)
 y = t*np.sin(t)

 # print(len(t))
 area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度

 # 下面的方式是循环实现
 # for i in range(1,len(t)):
 #  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始
 #  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) 
 #  # 将计算结果存储起来
 #  area_list.append(dl_i)

 # 更加pythonic的写法
 area_list = [np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) for i in range(1,len(t))]

 area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度

 print("二维参数曲线长度：{:.4f}".format(area))

 if plot:

  fig = plt.figure()
  ax = fig.add_subplot(111)
  ax.plot(x,y)
  plt.title("2-D Parameter Curve")
  plt.show()

## 二维空间曲线
def curve_2d(dt=0.0001,plot=True):
 dt = dt # 变化率
 t = np.arange(-6,10, dt)
 x = t
 y = x**3/8 - 4*x + np.sin(3*x)

 # print(len(t))
 area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度

 # for i in range(1,len(t)):
 #  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始
 #  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) 
 #  # 将计算结果存储起来
 #  area_list.append(dl_i)

 area_list = [np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) for i in range(1,len(t))]

 area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度

 print("二维曲线长度：{:.4f}".format(area))

 if plot:
  fig = plt.figure()
  ax = fig.add_subplot(111)
  ax.plot(x,y)
  plt.title("2-D Curve")
  plt.show()

## 三维空间曲线，采用参数形式
def curve_3d(dt=0.001,plot=True):
 dt = dt # 变化率
 t = np.arange(0,2*np.pi, dt)
 x = t*np.cos(t)
 y = t*np.sin(t)
 z = 2*t

 # print(len(t))
 area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度

 for i in range(1,len(t)):
  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始
  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 + (z[i]-z[i-1])**2 ) 
  # 将计算结果存储起来
  area_list.append(dl_i)

 area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度

 print("三维空间曲线长度：{:.4f}".format(area))

 if plot:
  fig = plt.figure()
  ax = fig.add_subplot(111,projection='3d')
  ax.plot(x,y,z)
  plt.title("3-D Curve")
  plt.show()

if __name__ == '__main__':

 circle_2d(plot=True)
 curve_param_2d(plot=True)
 curve_2d(plot=True)
 curve_3d(plot=True)

本文名称：python微元法计算函数曲线长度的方法-创新互联
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