使用RSA公开密钥体制进行加密,若P=2,q=5,求公钥e,私钥d,给出明文m=2的加解密过程

n=P*q=10

创新互联主要从事网页设计、PC网站建设（电脑版网站建设）、wap网站建设（手机版网站建设）、成都响应式网站建设公司、程序开发、网站优化、微网站、小程序开发等，凭借多年来在互联网的打拼，我们在互联网网站建设行业积累了丰富的成都网站制作、成都网站建设、外贸营销网站建设、网站设计、网络营销经验，集策划、开发、设计、营销、管理等多方位专业化运作于一体。

n的欧拉值=(p-1)*(q-1)=4

e满足1en的欧拉值，且 gcd(n的欧拉值,e)=1 所以 e只能为3

d*e=1 mod n的欧拉值 即 d*3= 1 mod 4 所以d可以取3

{3,10}为公钥 {310}为密钥

加密：

c=m^e mod n =2^3 mod 10 =8

解密

m=c^d mod n =8^3mod 10 = 2

如何利用OpenSSL库进行RSA加密和解密

#includestdio.h

#includestdlib.h

#includestring.h

#includeopenssl/rsa.h

#includeopenssl/engine.h

int main(int argc, char* argv[])

{

printf("openssl_test begin\n");

RSA* rsa=NULL;

char originstr[]="hello\n";   //这是我们需要加密的原始数据

//allocate RSA structure，首先需要申请一个RSA结构题用于存放生成的公私钥，这里rsa就是这个结构体的指针

rsa = RSA_new();

if(rsa==NULL)

{

printf("RSA_new failed\n");          

return -1;

}

//generate RSA keys

BIGNUM* exponent;

exponent = BN_new();        //生成RSA公私钥之前需要选择一个奇数（odd number）来用于生成公私钥

if(exponent ==NULL)

{

printf("BN_new failed\n"); 

goto FAIL1;

}

if(0==BN_set_word(exponent,65537))    //这里选择奇数65537

{

printf("BN_set_word failed\n"); 

goto FAIL1;

}

//这里modulus的长度选择4096，小于1024的modulus长度都是不安全的，容易被破解

if(0==RSA_generate_key_ex(rsa,4096,exponent,NULL))  

{

printf("RSA_generate_key_ex failed\n"); 

goto FAIL;      

}

char* cipherstr = NULL;

//分配一段空间用于存储加密后的数据，这个空间的大小由RSA_size函数根据rsa算出

cipherstr = malloc(RSA_size(rsa)); 

if(cipherstr==NULL)

{

printf("malloc cipherstr buf failed\n");

goto FAIL1;

}

//下面是实际的加密过程，最后一个参数padding type，有以下几种。    

/*

RSA_PKCS1_PADDINGPKCS #1 v1.5 padding. This currently is the most widely used mode.

RSA_PKCS1_OAEP_PADDING

EME-OAEP as defined in PKCS #1 v2.0 with SHA-1, MGF1 and an empty encoding parameter. This mode is recommended for all new applications.

RSA_SSLV23_PADDING

PKCS #1 v1.5 padding with an SSL-specific modification that denotes that the server is SSL3 capable.

RSA_NO_PADDING

Raw RSA encryption. This mode should only be used to implement cryptographically sound padding modes in the application code. Encrypting user data directly with RSA is insecure.

*/  

//这里首先用公钥进行加密，选择了RSA_PKCS1_PADDING

if(RSA_size(rsa)!=RSA_public_encrypt(strlen(originstr)+1,originstr,cipherstr,rsa,RSA_PKCS1_PADDING))

{

printf("encryption failure\n");

goto FAIL2;

}

printf("the original string is %s\n",originstr);

printf("the encrypted string is %s\n",cipherstr);

//Now, let's decrypt the string with private key

//下面来用私钥解密，首先需要一个buffer用于存储解密后的数据，这个buffer的长度要足够（小于RSA_size(rsa)）

//这里分配一个长度为250的字符数组，应该是够用的。

char decrypted_str[250];

int decrypted_len;

if(-1=(decrypted_len=RSA_private_decrypt(256,cipherstr,decrypted_str,rsa,RSA_PKCS1_PADDING)))

{

printf("decryption failure\n");

goto FAIL2;

}

printf("decrypted string length is %d,decryped_str is %s\n",decrypted_len,decrypted_str);

FAIL2:

free(cipherstr);

FAIL1:

BN_free(exponent);

FAIL:

RSA_free(rsa);

return 0;

}

以上是源代码，下面使用下面的编译命令在源码所在路径下生成可执行文件

gcc *.c -o openssl_test -lcrypto -ldl -L/usr/local/ssl/lib -I/usr/local/ssl/include

其中，-lcrypto和-ldl是必须的，前者是OpenSSL中的加密算法库，后者是用于成功加载动态库。

rsa解密错误

RSA解密错误,可能是数据填充方面的问题。RSA是一种块加密的算法，所以对于明文需要将他们分成固定的块长度，考虑到输入的数据长度的问题，所以加解密的填充有好几种：1无填充，就是直接对明文进行加密2PKCS1。将数据长度分成密钥长度-11byte，比如密钥是1024bit，那么长度就是1024/8-11=117bytes，具体的格式：先填0，2，然后随机生成其他的byte，后面才是真正的数据3PKCS1_OAEP将数据长度分成密钥长度-41byte，比如密钥是1024bit，那么长度就是1024/8-41=77bytes，先填0，随机或者是固定的测试向量加20个bytes，然后加20个数字签名的数据，最后才是数据4SSLV23，将数据长度分成密钥长度-11byte，比如密钥是1024bit，那么长度就是1024/8-11=117bytes，具体的格式：先填0，2，填入8个3，填入一个'\0'，最后才是真正的数据。

CTF常见RSA相关问题的解决（复现）

本文参考 为对其知识进行掌握，写此文章来梳理和加深记忆

前言：理解基本概念，本文将每种攻击方式实现方法提炼成了一个函数，便于理解原理也可以直接调用。

基础：

RSA概要：

在开始前可以通过 《RSA算法详解》 这篇文章了解关于RSA的基础知识，包括加解密方法，算法原理和可行性证明等。（特详细）

应用流程：

1.选取两个较大的互不相等的质数p和q 计算n =p q。

2.计算phi =（p-1） （q-1）。

3.选取任意的e，使得e满足1ephi 且 gcd(e,phi) ==1 .

4.计算e关于phi的模逆元d，即d满足（e*d）%phi ==1.

5.加解密：c=(m^e)%n ,m =(c^d)%n.其中m为明文，c为密文 （n,e）为公钥，d为私钥，要求0=mn.

求模逆可直接利用gmpy2库。如 import gmpy2 print gmpy2.invert(47,30) 可求得47模30的逆为23。

扩展欧几里得算法基于欧几里得算法，能够求出使得 ax+by=gcd(a,b) 的一组x,y。

常见攻击方式实践

准备工具

python gmpy2库 libnum库

yafu

RSATool2v17.exe

RSA解密

若已知私钥d，则可以直接解密：m=pow(c,d,n).

若已知质数p和q,则通过依次计算欧拉函数值phi、私钥d可解密。简易实现如下：

在选取加密指数e时要求phi，e互质，也就是gcd(phi,e)==1 ，如果不满足是无法直接解密的。

SCTF2018的Crypto - a number problem，题目是： x**33=1926041757553905692219721422025224638913707 mod 3436415358139016629092568198745009225773259 tell me the smallest answer of x

其中n=3436415358139016629092568198745009225773259 可以直接分解得到p,q，出phi=(p-1)*(q-1) ，然后惊奇地发现gcd(phi,33)==3 。这时如果对加密过程比较熟悉的话，就可以想到实际上公钥e=11 ，明文是m=x^3 ，应该先求出m。然后再爆破x。

n2，n3已知，利用共模攻击得到n1，由gcd(n1,n2)==p1 分解n1，n2，就可解密得到两部分msg，拼接即可。

小明文攻击

适用情况：e较小，一般为3。

公钥e很小，明文m也不大的话，于是 m^e=k*n+m 中的的k值很小甚至为0，爆破k或直接开三次方即可。Python实现：

例子：Extremely hard RSA

题目提供的n是4096位的，e=3。

Rabin加密中的N可被分解

适用情况：e==2

Rabin加密是RSA的衍生算法，e==2是Rabin加密典型特征，可以百度或阅读 以了解到详细的说明，这里只关注解密方法。一般先通过其他方法分解得到p，q，然后解密。

Python实现：

函数返回四个数，这其中只有一个是我们想要的明文，需要通过其他方式验证，当然CTF中显然就是flag字眼了。

Wiener’s Attack

适用情况：e过大或过小。

工具：

在e过大或过小的情况下，可使用算法从e中快速推断出d的值。详细的算法原理可以阅读： 低解密指数攻击 。

例子：2018强网杯nextrsa-Level2

**私钥文件修复

适用情况：提供破损的私钥文件。 **

参考 修复存储私钥的文件，得到p和q。

**私钥修复

Python 脚本：**

从缺失的私钥中，我们可以分析出各部分数据代表的数字。

改动原脚本中的各部分内容即可恢复出私钥，大致算法为：

**LSB Oracle Attack

适用情况：可以选择密文并泄露最低位。 **

在一次RSA加密中，明文为m，模数为n，加密指数为e，密文为c。我们可以构造出 c'=((2^e)*c)%n=((2^e)*(m^e))%n=((2*m)^e)%n ， 因为m的两倍可能大于n，所以经过解密得到的明文是 m'=(2*m)%n 。我们还能够知道 m' 的最低位 lsb 是1还是0。 因为n是奇数，而 2*m 是偶数，所以如果 lsb 是0，说明 (2*m)%n 是偶数，没有超过n，即 mn/2.0 ，反之则 mn/2.0 。举个例子就能明白 2%3=2 是偶数，而 4%3=1 是奇数。以此类推，构造密文 c"=(4^e)*c)%n 使其解密后为 m"=(4*m)%n ，判断 m" 的奇偶性可以知道 m 和 n/4 的大小关系。所以我们就有了一个二分算法，可以在对数时间内将m的范围逼近到一个足够狭窄的空间。

更多信息可参考： RSA Least-Significant-Bit Oracle Attack 和 RSA least significant bit oracle attack 。

Python实现：