最小二乘法拟合

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       最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

     假设有一组实验数据（x[i], y[i]）,我们知道它们之间的函数关系:y = f(x)，通过这些已知信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，如果f是一个线型函数f(x) = k * x + b， 那么参数k和b就是我们需要确定的值。如果将这些参数组用p来表示的话， 那么我们就是需要找到一组p值使得如下公式中的S函数最小：

这种算法被称为最小二乘法拟合。

scipy中的子函数库optimize已经提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq。下面是用leastsq进行数据拟合的一个例子。

import numpy as np

from scipy.optimize import leastsq

import pylab as pl

def func(x, p):

    """

    数据拟合所用的函数:A * sin(2 * pi * k * x + theta)

    """

    A, k, theta = p

    return A * np.sin(2 * np.pi * k * x + theta)

def residuals(p, y, x):

    """

    实验数据x,y和拟合函数之间的差， p为拟合需要找到的系数

    """

    return y - func(x, p)

x = np.linspace(0, -2 * np.pi, 100)

A, k, theta = 10, 0.34, np.pi / 6 #真实数据的函数参数

y0 = func(x, [A, k, theta]) #真实的y数据

y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) #加入噪声之后的数据

p0 = [7, 0.2, 0] #第一次猜测的拟合参数

#调用leastsq进行数据拟合

#residuals为计算误差的函数

#p0为拟合参数的初始值

#args为需要拟合的实验数据

plsq = leastsq(residuals, p0, args = (y1, x))

print("真实参数：", [A, k, theta])

print("拟合参数：", plsq[0]) #实验数据拟合后的参数

pl.plot(x, y0, label = u"真实数据")

pl.plot(x, y1, label = u"带噪声的实验数据")

pl.plot(x, func(x, plsq[0]), label =u"拟合数据")

pl.legend()

pl.show()