我们经常使用傅里叶变换来计算数字信号的频谱，进而分析数字信号，离散时间傅里叶变换的公式为：
$$

专业领域包括成都网站建设、成都网站设计、商城网站建设、微信营销、系统平台开发， 与其他网站设计及系统开发公司不同，创新互联公司的整合解决方案结合了帮做网络品牌建设经验和互联网整合营销的理念，并将策略和执行紧密结合，为客户提供全网互联网整合方案。

可是自己动手实现一遍才是最好的学习。

在数字分析里面，傅里叶变换默认等时间间隔采样，不需要时间序列，只需要信号数组即可分析。

分析过程如下：

• 对于含有 n 个样本值的数字信号序列，根据奈奎斯特采样定律，包含的周期数大为 n/2,周期数为 0 代表直流分量。所以，当周期数表示为离散的 0,1,2,3…n/2 ，总的数目为 n/2+1个
• 傅里叶变换之后的结果为复数， 下标为 k 的复数 a+b*j 表示时域信号中周期为 N/k 个取样值的正弦波和余弦波的成分的多少， 其中 a 表示 cos 波形的成分， b 表示 sin 波形的成分
• 首先产生一个长度为 n,一倍周期的 $e^{-jwn} $ （即为 $cos(wn)-jsin(wn) $ ）波样本序列.
• 将数字信号序列中的每一个样本与 1 倍周期的样本波形序列相乘，得到 n 个乘积，将 n 个乘积相加，放入 f[1] 中。
• 再产生一个长度为 n,两倍周期的 $e^{-jwn} $ （即为 $cos(wn)-jsin(wn) $ ）波样本序列,再将数字信号序列中的每一个样本与 2 倍周期的样本波形序列相乘，得到 n 个乘积，将 n 个乘积相加，放入 f[2] 中。依次重复。
• 对于 0 倍周期，即直流分量来说，可以认为产生的是 0 倍周期的样本波形，重复操作，放入 f[0] 即可。
• 这样就得到了数字信号序列的傅里叶变换

使用方法：

从以上过程得到数字序列的傅里叶变换之后，如果想要得到真正频谱，还需要做处理：

• 计算出的每一个频率下的幅值需要除以时间序列的长度，类似求平均的过程
• 每一个频率下的幅值是一个复数，需要对它求模，而且因为在负频率处也有值，所以需要对于实信号需要乘 2
• 频率的序列为 0 到采样率的一半，长度为 n/2+1
  

完整程序：

# 离散时间傅里叶变换的 python 实现
import numpy as np
import math
import pylab as pl
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt

sampling_rate=1000
t1=np.arange(0, 10.0, 1.0/sampling_rate)
x1 =np.sin(15*np.pi*t1)

# 傅里叶变换
def fft1(xx):
#   t=np.arange(0, s)
  t=np.linspace(0, 1.0, len(xx))
  f = np.arange(len(xx)/2+1, dtype=complex)
  for index in range(len(f)):
    f[index]=complex(np.sum(np.cos(2*np.pi*index*t)*xx), -np.sum(np.sin(2*np.pi*index*t)*xx))
  return f

# len(x1)

另外有需要云服务器可以了解下创新互联scvps.cn，海内外云服务器15元起步，三天无理由+7*72小时售后在线，公司持有idc许可证，提供“云服务器、裸金属服务器、高防服务器、香港服务器、美国服务器、虚拟主机、免备案服务器”等云主机租用服务以及企业上云的综合解决方案，具有“安全稳定、简单易用、服务可用性高、性价比高”等特点与优势，专为企业上云打造定制，能够满足用户丰富、多元化的应用场景需求。

网站名称：使用python实现离散时间傅里叶变换的方法-创新互联
URL链接：http://lszwz.com/article/dpseop.html